BAB I

DIFRENSIAL

1.1 Latar Belakang

Kalkulus (Bahasa Latin: calculus, artinya "batu kecil", untuk menghitung) adalah cabang ilmu matematika yang mencakup limit, turunan, integral, dan deret takterhingga. Kalkulus adalah ilmu mengenai perubahan, sebagaimana geometri adalah ilmu mengenai bentuk dan aljabar adalah ilmu mengenai pengerjaan untuk memecahkan persamaan serta aplikasinya. Kalkulus memiliki aplikasi yang luas dalam bidang-bidang sains, ekonomi, dan teknik; serta dapat memecahkan berbagai masalah yang tidak dapat dipecahkan dengan aljabar elementer.

Kalkulus memiliki dua cabang utama, kalkulus diferensial dan kalkulus integral yang saling berhubungan melalui teorema dasar kalkulus. Pelajaran kalkulus adalah pintu gerbang menuju pelajaran matematika lainnya yang lebih tinggi, yang khusus mempelajari fungsi dan limit, yang secara umum dinamakan analisis matematika.

Karena kalkulus ini mempunyai dua cabang utama, tapi disini saya ingin membahas tentang kalkulus integral dan defrensial. Seperti yang kita ketahui bahwa kalkulus integral juga memiliki banyak aplikasi, baik dalam kehidupan sehari-hari, dalam dunia pendidikan ataupun dalam dunia kesehatan.

1.1.1 Sejarah Persamaan Diferensial

Studi mengenai persamaan diferensial dimulai setelah penemuan Kalkulus dan Integral. Pada tahun 1676 Newton menyelesaikan sebuah persamaan diferensial dengan menggunakan deret tak hingga, sebelas tahun setelah penemuannya tentang bentuk fluksional dari kalkulus diferensial pada tahun 1665. Newton tidak mempublikasikan hal tersebut sampai dengan tahun 1693, pada saat Leibniz menghasilkan rumusan persamaan diferensial yang pertama.

Perkembangan persamaan diferensial sangat pesat dalam tahun-tahun berikutnya. Dalam tahun 1694-1697 John Bernoulli menjelaskan “Metode Pemisahan Variabel” dan membuktikan bahwa persamaan diferensial homogen orde satu dapat direduksi menjadi bentuk persamaan diferensial dengan variabel-variabel yang dapat dipisahkan. Bernoulli menggunakan metode ini terhadap persoalan-persoalan trayektori ortogonal. John Bernoulli dan saudaranya Jacob Bernoulli (yang menemukan Persamaan Diferensial Bernoulli) berhasil menyederhanakan sejumlah besar persamaan diferensial menjadi bentuk yang lebih sederhana yang dapat mereka selesaikan. Faktor integrasi yang kemungkinan ditemukan secara terpisah oleh Euler (1734) dan Fontaine dan Clairaut melalui beberapa pengkajian yang mereka lakukan terhadap penemuan Leibniz. Penyelesaian tunggal yang diperkenalkan oleh Leibniz (1694) dan Brook Taylor (1715) secara umum berkaitan dengan nama Clairaut (1734). Interpretasi geometris ditemukan oleh Lagrange (1774) namun teori dalam bentuk diferensial tidak dijelaskan sampai tahun 1872 ketika Cayley dan M.J.M. Hill (1888) merumuskan diferensial geometri.

Metode pertama yang diguakan untuk menyelesaikan persamaan diferensial orde kedua atau yang lebih tinggi dengan koefisien konstan, dirumuskan oleh Euler. D’Alembert merumuskan penyelesaian persamaan diferensial untuk kasus dimana persamaan bantuan mempunyai akar-akar yang sama. Beberapa metode simbolis untuk menentukan integral khusus belum dapat dijelaskan sampai sekitar seratus tahun kemudian, setelah Lobatto (1837) dan Boole (1859) merumuskan hal tersebut.

Persamaan diferensial parsial diketahui pertama kali muncul dalam persoalan getaran pada tali. Persamaan ini, merupakan persamaan diferensial orde kedua, telah dibicarakan oleh Euler dan D’Alembert dalam tahun 1747. Lagrange menyempurnakan penyelesaian dari persamaan tersebut kemudian menggunakannya juga untuk menelaah persamaan diferensial parsial orde pertama dalam tahun 1772 dan 1785. Lagrange berhasil merumuskan bentuk umum integral dari persamaan diferensial linier dan mengklasifikasikan bentuk-bentuk integral yang berbeda jika persamaan diferensialnya tidak linier.

Teori-teori yang berhubungan dengan persamaan diferensial belum berhenti sampai di situ. Perkembangan selanjutnya masih terus diupayakan oleh Chrystal (1892) dan Hill (1917). Metode-metode lain yang diterapkan untuk menjelaskan persamaan diferensial parsial orde pertama, diberikan oleh Charpit (1784) dan Jacobi (1836). Penelahaan yang paling penting untuk persamaan dengan orde yang lebih tinggi, dilakukan oleh Laplace (1773), Monge (1784), Ampere (1814), dan Darboux (1870).

Sejak tahun 1800, subjek persamaan diferensial dalam konteks aslinya (secara matematis), yaitu penyelesaian dalam bentuk yang hanya mengandung sejumlah berhingga fungsi (atau integral) yang diketahui, kurang lebih sama dengan dengan yang kita jumpai sampai abad ini. Meskipun pada awalnya para ahli matematika berharap dapat menyelesaikan semua persamaan diferensial dengan cara tersebut, namun usaha mereka tidak membuahkan hasil, sama seperti para ahli matematika terdahulu yang tidak berhasil menyelesaikan persamaan aljabar umum orde kelima atau yang lebih tinggi.

Tujuan tersebut telah mengalami perubahan, menjadi teori fungsi. Pada tahun 1823, Cauchy membuktikan bahwa deret tak hingga yang didapatkan dari sebuah persamaan diferensial, merupakan suatu deret yang konvergen sehingga dapat dinyatakan dalam bentuk sebuah fungsi yang memenuhi persaman (diferensial) tersebut. Pentanyaan mengenai konvergensi (Cauchy adalah ahli matematika yang melakukan pengujian pertama kali) sebagian besar mewarnai semua penyelidikan Cauchy selama periode kedua pengkajian persamaan diferensial. Sayang sekali hasil penelitian Cauchy menjadi sangat abstrak dan susah dimengerti oleh para mahasiswa. Dalam periode pertama, persaman diferensial tidak hanya lebih sederhana bentuknya, tetapi juga rumusannya sangat serta berkaitan dengan Mekanika dan Fisika, yang sebenarnya merupakan titik tolak munculnya persamaan diferensial itu sendiri

1.2 DIFERENSIAL

1.2.1 Definisi Persamaan Diferensial

Persamaan Diferensial adalah suatu persamaan yang meliputi turunan fungsi dari satu atau lebih variabel terikat terhadap satu atau lebih variabel bebas. (A differential equation is any equation which contains derivatives, either ordinary derivatives or partial derivatives.) Selanjutnya jika dalam persamaan tersebut turunan fungsi itu hanya tergantung pada satu variabel bebas, maka disebut Persamaan Difrensial Biasa (PDB) dan bila tergantung pada lebih dari satu variabel bebas disebut Persamaan Diferensial Parsial (PDP).

Contoh:

A. (Persamaan Differensial Parsial)

B. (Persamaan Differensial Biasa)

Definisi Order: Order suatu Persamaan Difrensial Biasa (PDB) adalah order tertinggi dari turunan dalam persamaan . Contoh no.2 adalah persamaan differensial biasa order dua. Definisi Linieritas dan Homogenitas: Persamaan differensial biasa order n dikatakan linier bila dapat dinyatakan dalam bentuk. (A linear differential equation is any differential equation that can be written in the following form.)

dengan .

A. Jika tidak dapat dinyatakan dalam bentuk di atas dikatakan tidak linier.

B. Jika koefisien konstan maka disebut persamaan differensial linier dengan koefisien konstan, jika tidak disebut persamaan differensial linier dengan koefisien variable.

C. Jika , maka disebut persamaan differensial linier homogen, jika disebut tidak homogen.

Solusi (Penyelesaian) Persamaan Difrensial Biasa (PDB)

dengan F fungsi real dengan (n+2) argumen .

1. Jika adalah fungsi real yang terdefinisi untuk semua dalam interval real dan mempunyai derivative ke-n untuk semua . Fungsi disebut solusi eksplisit PDB di atas pada jika memenuhi

terdefinisi untuk semua , dan

untuk semua

2. Suatu relasi disebut solusi implisit dari PDB di atas jika dapat ditransformasi ke minimal satu fungsi dengan variable sedemikian sehingga merupakan solusi eksplisit dari PDB pada interval tersebut.

3. Kedua penyelesaian yaitu penyelesaian implicit dan penyelesaian eksplisit biasanya secara singkat disebut penyelesaian PDB.

Secara umum kedua solusi tersebut masih dikategorikan lagi dalam tiga jenis solusi yaitu:

A. Solusi Umum (Penyelesaian Umum): solusi PDB yang masih mengandung konstanta misalnya . Contoh: mempunyai penyelesaian umum .

B. Solusi Khusus/Partikulir (Penyelesaian Khusus/Partikulir): solusi yang tidak mengandung konstanta karena adanya syarat awal pada suatu PDB. Contoh: dengan syarat , maka penyelesaian khususnya adalah

C. Solusi Singular (Penyelesaian Singular): solusi yang tidak diperoleh dari hasil mensubstitusikan suatu nilai pada konstanta pada solusi umumnya. Contoh: adalah solusi umum dari PDB , namun demikian disisi lain PDB tersebut mempunyai penyelesaian singular .

1.2.2 Metode Penyelesaian.

Metoda yang digunakan untuk mencari solusi (menyelesaiakan) Persamaan Differensial antara lain:

1. Metoda Analitik: Metoda ini dapat menghasilkan dua bentuk solusi yaitu bentuk eksplisit dan implicit yang dicari melalui teknik deduktif analogis dengan menggunakan konsep-konsep matematik. Kelebihannya dapat mengetahui bentuk fungsi solusinya namun tidak cukup fleksibel untuk masalah-masalah yang komplek. Dengan komputer dapat diselesaikan dengan software MATLAB atau MAPLE_ Prosedur dalam MATLAB ditulis sebagai berikut:

%Menggunakanfungsidsolve>>dsolve(‘Dy = 3*y + 1, y(0)=1’)

2. Metoda Kualitatif: Solusi ini hanya dapat memberikan gambaran secara geometris bagaimana visualisasi dari solusi PDB. Dengan mengamati pola grafik gradien “field” (direction field) maka dapat diestimasi solusi PDB itu. Keunggulannya dapat memahami secara mudah kelakuan solusi suatu PDB namun fungsi asli dari solusinya tidak diketahui dan juga kurang fleksibel untuk kasus yang komplek

3. Metoda Numerik. Pada saat sekarang metoda ini merupa-kan metoda yang fleksibel. Metoda ini berkembang sesuai dengan perkembangan computer, dan dapat menyelesaikan PDB dari level yang mudah sampai pada level yang kompleks. Meskipun fungsi tidak solusi tidak diketahui secara eksplisit maupun implicit namun data yang diberikan dapat divisualisir dalam bentuk grafik sehingga dapat dianalisis dengan baik. Metoda ini berdasarkan prinsip-prinsip pendekatan (aproksimasi) sehingga solusi yang diperoleh adalah solusi hampiran (solusi pendekatan).

1.2.3 Pembentukan Persamaan Diferensial

Secara matematis, persamaan diferensial muncul jika ada konstanta sembarang dieliminasikan dari suatu fungsi tertentu yang diberikan, lihat contoh berikut:

Bentuklah persamaan diferensial dari fungsi berikut:

Penyelesaian:

dari fungsi yang diberikan (soal) konstanta sembarang A adalah:

sehingga

Satu contoh lagi, bentuklah persamaan diferensial untuk:

Penyelesaian:

substitusikan konstanta A ke:

sehingga

dengan mensubstitusikan A dan B pada persamaan:

kita dapatkan:

_{hasil akhir penyelesaian di atas adalah persamaan diferensial orde dua.}

Jadi fungsi dengan satu konstanta sembarang menghasilkan persamaan diferensial orde satu, sedangkan fungsi dengan dua konstanta sembarang menghasilkan persamaan diferensial orde dua. Sehingga berlaku kaidah:

1.2.4 Kaidah-kaidah Diferensiasi

1. Diferensiasi Konstanta

Jika y = k y ^‘ = 0 y = 5 y ‘ = 0

2. Diferensiasi Fungsi Pangkat

Jika y = x ⁿ y ‘ = n x ^n-1 y = x ³ y ‘ = 3 x ^3-1= 3 x ²

3. Diferensiasi perkalian konstanta dengan fungsi

Jika y = k v dimana v = h (x) y ’ = k

y = 5 x ³ y ’ = 5 ( 3 x^3-1 ) = 15 x ²

4. Diferensiasi pembagian konstanta dengan fungsi

Jika y = dimana v = h (x) y‘ =

y = y ’ = = =

5. Diferensiasi perkalian fungsi

y = u v u = g (x) dan v = h (x)

= u v‘ + v u ‘

y = 4 x ²( x ³) y ‘ = 4 ( x ²) ( 3 x ²) + ( x ³) 4 ( 2 x )

= 12 x ⁴ + 8 x ⁴ = 20 x ⁴

6. Diferensiasi pembagian fungsi

y = =

y = y ’ = =

7. Diferensiasi fungsi komposit (fungsi di dalam fungsi)

y = f(U) y = f {g(x)} = .

y = ( 4 x ³ + 5 ) ²y ‘ = 2 ( 4 x ³ + 5 ) .12 x ²

= (8 x ³ + 10).12 x ² = 96 x ⁵ + 120 x ²

8. Diferensiasi fungsi pangkat

y = u ⁿ dimana u = g (x) = n u ^{n – 1} .

y = ( 4 x ³ + 5 ) ² y’ = 2 ( 4 x ³ + 5 ).12 x ²

= ( 8 x ³ + 10 ).12 x ² = 96 x ³ + 120 x ²

9. Fungsi Log

y = ^alog x y ^’ =

y = ⁵log 2 y’ =

10. Fungsi y = ^alog u y‘ = .

11. y = ( ^alog u) ⁿ y‘ = .

12. y = ln x y‘ =

13. y = ln u y‘ = .

14. y = (ln u) ⁿ y ‘ = . .

15. y = a ^x y‘ = a ^x ln a

16. y = a ⁴ y‘ = a ^u ln a

17. y = u ^v y‘ = v u ^v-1 . + u ^v ln u .

18. Fungsi Invers y = f(x) dan x = g(y) adalah fungsi yang saling berbalikan =

1.2.5 Persamaan Differensial Order satu (First Order DE’s)

1. Variabel terpisah (Separable differential equations) dan variabel tidak terpisah tapi mudah dipisahkan

Bentuk: , dan

Untuk menyelesaikannya, integralkan.

Contoh:

PU PD:

Jika persamaan tersebut diberi syarat bahwa y(1) = 3, maka syarat ini disubstitusikan ke PU PD untuk mendapatkan nilai c.

Jadi Penyelesaian Khusus PD:

Substitusi syarat r(1) = 2 diperoleh c = -1/2

Sehingga penyelesaian PD:

Substitusi syarat diperoleh: ;

Sehingga penyelesaian khusus PD:

2. Variabel tercampur dan tidak mudah dipisahkan.

a). Bentuk: ; Untuk bentuk ini diambil

substitusi

Contoh:

;

Bagi kedua ruas dengan sehingga PD jadi berbentuk:

; dengan substitusi diperoleh

Penyelesaian Umum PD:

b). Bentuk: ; untuk bentuk ini dapat diambil substitusi x y = u => x dy + y dx = du

Contoh:

Ambil substitusi xy = u dan

Sehingga PD menjadi:

1.2.6 Penyelesaian Persamaan Diferensial Biasa Orde Satu

Penyelesaian Persamaan Diferensial adalah pencarian fungsi yang memenuhi persamaan diferensial tersebuat dengan cara manipulasi persamaan tersebut sehingga seluruh turunannya hilang dan harga menyisakan hubungan antara x dan y.

a) Metode 1 : Dengan integrasi secara langsung

Jika persamaan dapat disusun dalam bentuk

, maka persamaan tersebut dapat diselesaikan dengan integrasi sederhana.

Contoh 1:

maka

Contoh 2:

maka

sehingga

Nilai c tidak dapat ditentukan kecuali jika dalam persamaan di atas diberi keterangan syarat (sebuah nilai y untuk x tertentu). Solusi dengan nilai konstanta sembarang atau c disebut solusi umum/primitif, sedangkan solusi disebut khusus jika nilai c dapat dihitung.

Contoh 3:

Tentukan solusi khusus persamaan berikut jika y=3 untuk x=0:

Penyelesaian

maka

dengan mengetahui y=3 untuk x=0 dapat dihitung nilai c yaitu

sehingga solusi khusus adalah:

b) Metode 2: Pemisahan variabel

Jika persamaan diferensial berbentuk

, yaitu persamaan yang ruas kanannya dapat dinyatakan sebagai perkalian atau pembagian fungsi x dan fungsi y, maka penyelesaian PD dengan cara memisahkan variabelnya sehingga faktor’y’ bisa kita kumpulkan dengan ‘dy’ dan faktor’x’ dengan ‘dx’.

contoh: selesaikan PD berikut

maka jika kita pisahkan berdasarkan variabelnya menjadi:

jika kita integrasikan kedua ruas menjadi:

c) Metode 3: Persamaan Homogen substitusi y=vx

tinjau persamaan diferensial berikut:

persamaan di atas tidak dapat diselesaikan dengan cara memisahkan variabelnya. Dalam hal ini kita lakukan substitusi y =vx, dengan v adalah fungsi x. Sehingga penyelesaiannya:

dari y = vx dideferensialkan menjadi

sehingga

Persamaan sekarang menjadi:

kedua ruas diintegrasikan menjadi:

substitusi v=y/x didapatkan

1.2.7 Kumpulan Soal-Soal Diferensial

1. Tentukan turunan pertama dari y = (3x-2)⁴+(4x-1)³adalah . . .

Jawab:

Kita uraikan satu per satu dulu masing-masing persamaan, misalnya :

f (x) = y = (3x-2)⁴misal U = (3x-2) du/dx = 3

dy/dx = n.U^n-1 . du/dx

= 4. (3x-2)^4-1.3

= 12 (3x-2)³

Terus berlanjut ke persamaan berikutnya :

f (x) = y = (4x-1)³ misal U = (4x-1) du/dx = 4

dy/dx = n.U.^n-1 . du/dx

= 3. (4x-1)^3-1. 4

= 12 (4x-1)²

Setelah kita mengetahui hasil dari masing-masing persamaan, kemudian kita kembali gabungkan kedua persamaan tersebut :

f (x) = y = (3x-2)⁴+(4x-1)³

= 12 (3x-2)³+ 12 (4x-1)²

= 12 (3x-2)³+ (4x-1)²

2. Tentukan turunan pertama dari y = 5x² + 7 adalah . . .

4x + 3

Jawab :

y = 5x²+ 7, kita misalkan U = 5x²+7 maka du/dx = 10 x

4x + 3 V = 4x + 3 maka dv/dx = 4

= V. du/dx – U. dv/dx

V²

= (4x+3) (10x) – (5x² + 7) (4)

(4x + 3)²

= 40x² + 30x – 20x² – 28

(4x + 3)²

= 20x²+ 30x – 28

(4x + 3)²

3. Jika jumlah penduduk suatu daerah dalam t tahun mendatang dapat dinyatakan dalam fungsi t : f (t) = 10.000.000+11.000t-800 t²maka dapatkan laju pertumbuhan penduduk didaerah tersebut pada saat lima tahun mendatang !

Jawab :

f (t) = 10.000.000 + 11.000 t - 8.00 t²

f’ (t) = 11.000 - 8.00 t

sehingga laju pertambahan penduduk 5 tahun mendatang adalah

f’ (5) = 11.000- 8.00 . (5)

= 11.000 – 4.000

= 7.000

Jadi laju pertambahan penduduk 5 tahun mendatang adalah 7.000 orang

4. Jika diketahui fungsi total cost untuk memproduksi x satuan barang adalah

TC = x³-4x²+16x+80, maka tentukan MC pada saat memproduksi 20 satuan barang !

Jawab :

TC = x³-4x²+16x+80

MC = TC^I= 3x²-8x+16

Sehingga MC untuk x = 20 adalah

MC = 3 (20)² – 8 (20) + 16

= 3 (4.00) – 8 (20) + 16

= 1.200 – 1.60 + 16

= 1.050

Satuan rupiah MC = 3 (20)² – 8 (20) + 16 = 1.050 satuan rupiah

Ini berarti pada posisi x = 20 satuan baran, akan terjadi tingkat perubahan biaya sebesar 1.050 satuan rupiah jika x berubah 1 unit.

5. Suatu proyek akan diselesaikan dalam x hari dengan biaya proyek perhari adalah

y = (2x + - 80) dalam ribuan rupiah, biaya proyek minimum dalam x hari adalah . . .

jawab :

y = (2x + - 80)

y (x) = (2x² + 10.000 – 80x)

biaya minimum diperoleh jika y^I(x) = 0

4x-80 = 0 x = 20

Biaya minimum adalah :

y (20) = 2 (20)2 + 10.000 – 80.20

= 800 + 10.000 – 1.600

= 9.200

Karena satuannya dalam ribuan, maka dikalikan 1.000 = Rp. 9.200.000,-

BAB II

INTEGRAL

2.1 Sejarah Integral

Hitung integral merupakan metode matematika dengan latar belakang sejarah yang cukup unik. Banyak ilmuwan, baik matematika maupun non-matematika, yang berminat terhadap perkembangan matematika hitung integral.

Sejarah perkembangan kalkulus bisa ditilik pada beberapa periode zaman, yaitu zaman kuno, zaman pertengahan, dan zaman modern. Pada periode zaman kuno. Beberapa pemikiran tentang kalkulus integral telah muncul, tetapi tidak dikembangkan dengan baik dan sistematis. Perhitungan volume dan luas yangmerupakan fungsi utama dari kalkulus integral bisa ditelusuri kembali padaPapirus Moskwa Mesir (c. 1800 SM). Pada papirus tersebut, orang Mesir telah mampu menghitung volume piramida terpancung. Archimedes mengembangkanpemikiran ini lebih jauh dan menciptakan heuristik yang menyerupai kalkulus integral.

Pada zaman pertengahan, matematikawan India, Aryabhata, menggunakan konsep kecil tak terhingga pada tahun 499 dan mengekspresikan masalah astronomi dalam bentuk persamaan diferensial dasar.Persamaan ini kemudianmengantar Bhāskara II pada abad ke-12 untuk mengembangkan bentuk awalturunan yang mewakili perubahan yang sangat kecil tak terhingga danmenjelaskan bentuk awal dari "Teorema Rolle". Sekitar tahun 1000, matematikawan Irak Ibn al-Haytham (Alhazen) menjadi orang pertama yangmenurunkan rumus perhitungan hasil jumlah pangkat empat, dan denganmenggunakan induksi matematika, dia mengembangkan suatu metode untukmenurunkan rumus umum dari hasil pangkat integral yang sangat pentingterhadap perkembangan kalkulus integral. Pada abad ke-12, seorang PersiaSharaf al-Din al-Tusi menemukan turunan dari fungsi kubik, sebuah hasil yangpenting dalam kalkulus diferensial. Pada abad ke-14, Madhava, bersama denganmatematikawan-astronom dari mazhab astronomi dan matematika Kerala, menjelaskan kasus khusus dari deret Taylor, yang dituliskan dalam teks Yuktibhasa.

Pada zaman modern, penemuan independen terjadi pada awal abad ke-17 di Jepang oleh matematikawan seperti Seki Kowa. Di Eropa, beberapa matematikawan seperti John Wallis dan Isaac Barrow memberikan terobosandalam kalkulus. James Gregory membuktikan sebuah kasus khusus dari teoremadasar kalkulus pada tahun 1668. Gottfried Wilhelm Leibniz pada awalnyadituduh menjiplak dari hasil kerja Sir Isaac Newton yang tidak dipublikasikan,namun sekarang dianggap sebagai kontributor kalkulus yang hasil kerjanyadilakukan secara terpisah. Leibniz dan Newton mendorong pemikiran-pemikiranini bersama sebagai sebuah kesatuan dan kedua orang ilmuwan tersebutdianggap sebagai penemu kalkulus secara terpisah dalam waktu yang hampirbersamaan.

Newton mengaplikasikan kalkulus secara umum ke bidang fisika sementara Leibniz mengembangkan notasi-notasi kalkulus yang banyak digunakan sekarang. Ketika Newton dan Leibniz mempublikasikan hasil merekauntuk pertama kali, timbul kontroversi di antara matematikawan tentang mana yang lebih pantas untuk menerima penghargaan terhadap kerja mereka.Newton menurunkan hasil kerjanya terlebih dahulu, tetapi Leibniz yang pertamakali mempublikasikannya. Newton menuduh Leibniz mencuri pemikirannya daricatatan-catatan yang tidak dipublikasikan, yang sering dipinjamkan Newtonkepada beberapa anggota dari Royal Society.Pemeriksaan secara terperincimenunjukkan bahwa keduanya bekerja secara terpisah, dengan Leibniz memulaidari integral dan Newton dari turunan. Sekarang, baik Newton dan Leibnizdiberikan penghargaan dalam mengembangkan kalkulus secara terpisah. AdalahLeibniz yang memberikan nama kepada ilmu cabang matematika ini sebagaikalkulus, sedangkan Newton menamakannya "The science of fluxions". Sejak itu,banyak matematikawan yang memberikan kontribusi terhadap pengembanganlebih lanjut dari kalkulus.

2.1.1 Pengertian Integral

Integral yang biasa disebut juga “hitung integral” atau “kalkulus integral” dapat digunakan untuk mencari luas suatu daerah. Dalam kalkulus integral dapat diartikan sebagai operasi invers dari turunan disebut juga anti turunan atau anti diferensial. Integral dilambangkan oleh “ʃ” yang merupakan lambang untuk menyatakan kembali F(x) dari F’(x).

Suatu fungsi F disebut anti turunan dari suatu fungsi f pada selang I, jika untuk setiap nilai x di dalam I, berlaku F’(x) = f(fx).

Berdasarkan pengertian bahwa integral adalah invers dari operasi pendiferensialan, maka dapat disimpulkan sebagai berikut.

Apabila terdapat fungsi F(x) yang dapat di diferensialkan pada interval I, sedemikian sehingga

, maka anti turunan dari f(x adalah F(x) + C dengan C konstanta sembarang.

2.1.2 Rumus integrasi dasar Umum

a. Bilangan natural

$\int e^u du= e^u + C\,$

b. Logaritma

$\int \log_b(x) \,dx = x \log_b(x) - \frac{x}{\ln(b)} + C = x \log_b \left(\frac{x}{e}\right) + C$

c. Trigonometri

$\int\sin x\,dx = -\cos x + C\,$

$\int\cos x\,dx = \sin x + C\,$

$\int\tan x\,dx = \ln |\sec x| + C\,$

$\int\cot x\,dx = \ln |\sin x| + C\,$

$\int\sec x\,dx = \ln |\sec x + \tan x| + C\,$

$\int\csc x\,dx = \ln |\csc x - \cot x| + C\,$

$\int\sec^2 x\,dx = \tan x + C\,$

$\int\csc^2 x\,dx = - \cot x + C\,$

$\int\sec x\tan x\,dx = \sec x + C\,$

$\int\csc x\cot x\,dx = -\csc x + C\,$

2.1.3 Jenis-Jenis Integral

1. Integral Tak Tentu

Antipendiferensialan adalah operasi untuk mendapatkan himpunan semua antiturunan dari suatu fungsi yang diberikan. Secara umum, integral tak tentu dari f(x) didefinisikan sebagai berikut.

ʃ f(x)dx = F(x) + C

Keterangan :

ʃ = operasi antiturunan atau lambang integral

C = konstanta integrasi

f(x) = fungsi integran, fungsi yang akan dicari anti turunannya

F(x) = fungsi hasil integral

2.1.4 Sifat-sifat integral tak tentu

Jika f dan g memiliki antiturunan dan k konstan, maka

∫kf(x) dx = k∫f(x) dx
∫[f(x)+g(x)] dx = ∫f(x) dx+∫g(x) dx
∫[f(x)-g(x)] dx = ∫f(x) dx-∫g(x) dx

Karena memenuhi ketiga sifat di atas, maka integral tak tentu merupakan operator linier.

2.1.5 Rumus-rumus Dasar Integral Tak Tentu

Kesulitan menghadapi banyak sekali jenis integral? Kali ini penulis akan memaparkan beberapa jenis integral tak tentu yang umum dijumpai dalam berbagai soal matematika. Bentuk-bentuk berikut ini merupakan bentuk dari yang paling dasar sampai dengan bentuk pengembangan

, n ≠ - 1 2.

10.

11.

12.

13.

Contoh :

1. Rumus Integral Tak Tentu Fungsi Aljabar

Rumus-rumus integral tak tentu fungsi Aljabar :

1) ʃ dx = x + c

2) ʃ a dx = ax + c

3) ʃ axⁿdx =

xⁿ⁺¹ + C, C ≠ 1

4) ʃ a f(x) dx = a ʃ f(x) dx

5) ʃ [ f(x) ± g(x) ] dx = ʃ f(x) dx ± g(x) dx

6) $\displaystyle\int x^n \,dx = \frac{1}{n+1}x^{n+1}+C,\qquad n\ne-1$

7) $\displaystyle\int (ax+b)^n \,dx= \frac{1}{a(n+1)}(ax+b)^{n+1}+C,\qquad n\ne-1$

Contoh :

o ʃ 2x dx

ʃ 2x dx =

x¹⁺¹ + c

o ʃ (4x + 6 ) dx

ʃ (4x + 6 ) dx = ʃ 4x dx + ʃ 6x dx

2x² + 6x + C

2. Rumus Integral Tak Tentu Fungsi Trigonometri

Rumus-rumus integral tak tentu fungsi trigonometri :

1) ʃ cos x dx = sin x + c

2) ʃ sin x dx = - cos x + c

3) ʃ tan x dx = - ln ǀcos xǀ + c

4) ʃ cos (ax + b) dx =

sin (ax + b) + c

5) ʃ sin (ax + b) dx = -

cos (ax + b) + c

6) $\displaystyle\int\sec^2{x}\,dx=\tan{x}+C$

7) $\displaystyle\int\csc^2{x}\,dx=-\cot{x}+C$

8) $\displaystyle\int\cot{x}\csc{x}\,dx=-\csc{x}+C$

Contoh :

o ʃ (3 sin x) dx

ʃ (3 sin x) dx = - 3 cos x + c

o ʃ (x + tan x) dx

ʃ (x + tan x) dx =

x² + ln ǀsec xǀ + c

3. Integral tak tentu untuk fungsi trigonometri (1) untuk $a\ne0$

1. $\displaystyle\int\cos(ax+b)\,dx=\dfrac{\sin(ax+b)}{a}+C$

2. $\displaystyle\int\sin(ax+b)\,dx=-\dfrac{\cos(ax+b)}{a}+C$

3. $\displaystyle\int\sec^2(ax+b)\,dx=\dfrac{\tan(ax+b)}{a}+C$

4. $\displaystyle\int\csc^2(ax+b)\,dx=-\dfrac{\cot(ax+b)}{a}+C$

5. $\displaystyle\int\tan(ax+b)\sec(ax+b)\,dx=\dfrac{\sec(ax+b)}{a}+C$

6. $\displaystyle\int\cot(ax+b)\csc(ax+b)\,dx=-\dfrac{\csc(ax+b)}{a}+C$

4. Integral tak tentu untuk fungsi trigonometri (2)

$\displaystyle\int\cos^2{x}\,dx=\dfrac{x}{2}+\dfrac{\sin{2x}}{4}+C$
$\displaystyle\int\sin^2{x}\,dx=\dfrac{x}{2}-\dfrac{\sin{2x}}{4}+C$
$\displaystyle\int\tan^2{x}\,dx=\tan{x}-x+C$
$\displaystyle\int\cot^2{x}\,dx=\cot{x}-x+C$
$\displaystyle\int\cos^3{x}\,dx=\dfrac{1}{3}(2+\cos^2{x})\sin{x}+C$ *
$\displaystyle\int\sin^3{x}\,dx=-\dfrac{1}{3}(2+\sin^2{x})\cos{x}+C$ *

5. Integral tak tentu untuk fungsi trigonometri (3) -hard level-

$\displaystyle\int\sin{ax}\sin{bx}\,dx = \dfrac{\sin{(a-b)x}}{2(a-b)}-\dfrac{\sin{(a+b)x}}{2(a+b)}+C$
$\displaystyle\int\cos{ax}\cos{bx}\,dx = \dfrac{\sin{(a-b)x}}{2(a-b)}+\dfrac{\sin{(a+b)x}}{2(a+b)}+C$
$\displaystyle\int\sin{ax}\cos{bx}\,dx = -\dfrac{\cos{(a-b)x}}{2(a-b)}-\dfrac{\cos{(a+b)x}}{2(a+b)}+C$
$\displaystyle\int\sin^n{x}\,dx=-\dfrac{sin^{n-1}{x}\cos{x}}{n}+\dfrac{n-1}{n}\int{\sin^{n-2}x}\,dx$
$\displaystyle\int\cos^n{x}\,dx=\dfrac{cos^{n-1}{x}\sin{x}}{n}+\dfrac{n-1}{n}\int{\cos^{n-2}x}\,dx$
$\displaystyle\int\tan^n{x}\,dx=\dfrac{\tan^{n-1}x}{n-1}-\int{\tan^{n-2}x}\,dx$
$\displaystyle\int\cot^n{x}\,dx=-\dfrac{\cot^{n-1}x}{n-1}-\int{\cot^{n-2}x}\,dx$

6. Integral tak tentu untuk fungsi aljabar (2)

$\displaystyle\int\sqrt{a^2-x^2}\,dx=\dfrac{x}{2}\sqrt{a^2-x^2}+a^2\arcsin{\left (\dfrac{x}{a}\right )}+C$
$\displaystyle\int \dfrac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}\,dx=\dfrac{1}{a}\arcsin{\left (\dfrac{x}{a}\right )}+C$
$\displaystyle\int \dfrac{1}{a^2+x^2}\,dx=\dfrac{1}{a}\arctan{\left (\dfrac{x}{a}\right )}$

7. Integral tak tentu untuk fungsi aljabar (Pengayaan)

$\displaystyle\int\dfrac{1}{x}\,dx=\ln{|x|}+C$
$\displaystyle\int\dfrac{c}{ax+b}\,dx=\dfrac{c}{a}\ln{|ax+b|}+C$
$\displaystyle\int\dfrac{1}{a^2-x^2}\,dx=\dfrac{1}{2a}\ln{\left |\dfrac{x+a}{x-a}\right |}+C$
$\displaystyle\int \dfrac{1}{x\sqrt{x^2-a^2}}\,dx=\dfrac{1}{a}\sec^{-1}{\left |\dfrac{x}{a}\right |}+C$

8. Integral tak tentu untuk fungsi eksponen (Pengayaan)

$\displaystyle\int e^x dx= e^x+C$
$\displaystyle\int e^{ax} dx= \dfrac{1}{a}e^{ax}+C$
$\displaystyle\int a^x dx= \dfrac{a^x}{\ln{a}}+C$
$\displaystyle\int a^{kx} dx= \dfrac{a^{kx}}{k\ln{a}}+C$

9. Integral tak tentu untuk fungsi logritma (Pengayaan)

$\displaystyle\int\ln{x}\,dx=x\cdot\ln{x}-x+C$
$\displaystyle\int\,^a\ln{x}\,dx=x\cdot^a\ln{x}-\dfrac{x}{\ln{a}}+C$

Catatan:

Bentuk-bentuk di atas kebanyakan merupakan pengembangan dari bentuk-bentuk dasar dan perpaduan antara dua/lebih jenis integral

2.1.6 PEMAKAIAN INTEGRAL TAK TENTU

Pada integral tak tentu terdapat nilai konstanta c yang tidak tentu nilainya. Untuk menentukan fungsi f dari suatu fungsi turunan, maka harus ada data yang lain sehingga harga c dapat diketahui.

Contoh 1 : Diketahui f ‘(x) = 5x – 3 dan f(2) = 18. Tentukan f(x) !

Penyelesaian :

Jadi

Contoh 2 : Jika gradien garis singgung di titik (x,y) pada sebuah kurva yang melalui titik (3,4) ditentukan

, maka tentukan persamaan kurva tersebut !

Penyelesaian :

Jadi f(x) =

2.2.1 Integral Tertentu

Integral tertentu adalah integral yang memiliki batas. Jika f suatu fungsi yang didefinsikan pad selang tutup (a,b) maka integral tentu (integral Riemann) dari f dari a sampai b dinyatakanoleh :

Jika limit itu ada, dengan f(x) disebut integran, a disebut batas bawah, b disebut batas atas, dan

disebut tanda integral tentu.

secara informal didefinisikan sebagai luas wilayah pada bidang xy yang dibatasi oleh kurva grafik ƒ, sumbu-x, dan garis vertikal x = a dan x = b.

Pada notasi integral di atas: a adalah batas bawah dan b adalah batas atas yang menentukan domain pengintegralan, ƒ adalah integran yang akan dievaluasi terhadap x pada interval [a,b], dan dx adalah variabel pengintegralan.

Seiring dengan semakin banyaknya subinterval dan semakin sempitnya lebar subinterval yang diambil, luas keseluruhan batangan akan semakin mendekati luas daerah di bawah kurva.

Terdapat berbagai jenis pendefinisian formal integral tertentu, namun yang paling umumnya digunakan adalah definisi integral Riemann. Integral Rieman didefinisikan sebagai limit dari penjumlahan Riemann. Misalkanlah kita hendak mencari luas daerah yang dibatasi oleh fungsi ƒ pada interval tertutup [a,b]. Dalam mencari luas daerah tersebut, interval [a,b] dapat kita bagi menjadi banyak subinterval yang lebarnya tidak perlu sama, dan kita memilih sejumlah n-1 titik {x₁, x₂, x₃,..., x_{n - 1}} antara a dengan b sehingga memenuhi hubungan:

$a = x_0 \le x_1 \le x_2 \le \cdots \le x_{n-1} \le x_n = b . \,\!$

Himpunan $P = \{x_0, x_1, x_2, \ldots, x_{n-1}, x_n\}\,$ tersebut kita sebut sebagai partisi [a,b], yang membagi [a,b] menjadi sejumlah n subinterval $[x_0, x_1], [x_1,x_2], \ldots, [x_{n-1}, x_n]$ . Lebar subinterval pertama [x₀,x₁] kita nyatakan sebagai Δx₁, demikian pula lebar subinterval ke-i kita nyatakan sebagai Δx_i = x_i - x_i_{- 1}. Pada tiap-tiap subinterval inilah kita pilih suatu titik sembarang dan pada subinterval ke-i tersebut kita memilih titik sembarang t_i. Maka pada tiap-tiap subinterval akan terdapat batangan persegi panjang yang lebarnya sebesar Δx dan tingginya berawal dari sumbu x sampai menyentuh titik (t_i, ƒ(t_i)) pada kurva. Apabila kita menghitung luas tiap-tiap batangan tersebut dengan mengalikan ƒ(t_i)· Δx_i dan menjumlahkan keseluruhan luas daerah batangan tersebut, kita akan dapatkan:

$S_p = \sum_{i=1}^{n} f(t_i) \Delta x_i$

Penjumlahan S_p disebut sebagai penjumlahan Riemann untuk ƒ pada interval [a,b]. Perhatikan bahwa semakin kecil subinterval partisi yang kita ambil, hasil penjumlahan Riemann ini akan semakin mendekati nilai luas daerah yang kita inginkan. Apabila kita mengambil limit dari norma partisi $\lVert P \rVert$ mendekati nol, maka kita akan mendapatkan luas daerah tersebut.

Secara cermat, definisi integral tertentu sebagai limit dari penjumlahan Riemann adalah:

Diberikan ƒ(x) sebagai fungsi yang terdefinisikan pada interval tertutup [a,b]. Kita katakan bahwa bilangan I adalah integral tertentu ƒ di sepanjang [a,b] dan bahwa I adalah limit dari penjumlahan Riemann $\sum_{i=1}^{n} f(t_i) \Delta x_i$ apabila kondisi berikut dipenuhi: Untuk setiap bilangan ε > 0 apapun terdapat sebuah bilangan δ > 0 yang berkorespondensi dengannya sedemikian rupanya untuk setiap partisi $P = \{ x_0, x_1, \ldots, x_n \}$ di sepanjang [a,b] dengan $\lVert P \rVert < \delta$ dan pilihan t_i apapun pada [x_k_{- 1}, t_i], kita dapatkan

$\left|\sum_{i=1}^{n} f(t_i)\Delta x_i - I \right| < \epsilon.$

Secara matematis dapat kita tuliskan:

$\lim_{\lVert P \rVert \to 0}\sum_{i=1}^n f(t_i) \Delta x_i = I = \int_a^b f(x)\,dx$

Apabila tiap-tiap partisi mempunyai sejumlah n subinterval yang sama, maka lebar Δx = (b-a)/n, sehingga persamaan di atas dapat pula kita tulis sebagai:

$\lim_{n \to \infty}\sum_{i=1}^n f(t_i) \Delta x = I = \int_a^b f(x)\,dx$

Limit ini selalu diambil ketika norma partisi mendekati nol dan jumlah subinterval yang ada mendekati tak terhingga banyaknya.

Contoh: Sebagai contohnya, apabila kita hendak menghitung integral tertentu $\int_0^b x\, dx$ , yakni mencari luas daerah A dibawah kurva y=x pada interval [0,b], b>0, maka perhitungan integral tertentu $\int_0^b x\, dx$ sebagai limit dari penjumlahan Riemannnya adalah $\lim_{\lVert P \rVert \to 0}\sum_{i=1}^n f(t_i) \Delta x_i$

Pemilihan partisi ataupun titik t_i secara sembarang akan menghasilkan nilai yang sama sepanjang norma partisi tersebut mendekati nol. Apabila kita memilih partisi P membagi-bagi interval [0,b] menjadi n subinterval yang berlebar sama Δx = (b - 0)/n = b/n dan titik t'_i yang dipilih adalah titik akhir kiri setiap subinterval, partisi yang kita dapatkan adalah:

$P = \{0, \frac{b}{n}, \frac{2b}{n}, \frac{3b}{n}, \ldots, \frac{nb}{n}\}$ dan $t_i = \frac{ib}{n}$ , sehingga: $\begin{align} \int_0^b f(x)\, dx &= \lim_{n \to \infty}\sum_{i=1}^n f(t_i) \Delta x\\ &= \lim_{n \to \infty}\sum_{i=1}^n \frac{ib}{n}.\frac{b}{n} \\ &= \lim_{n \to \infty}\sum_{i=1}^n \frac{ib^2}{n^2} \\ &= \lim_{n \to \infty}\frac {b^2}{n^2}\sum_{i=1}^n i \\ &= \lim_{n \to \infty}\frac {b^2}{n^2} . \frac{n(n+1)}{2}\\ &= \lim_{n \to \infty}\frac {b^2}{2} (1+\frac{1}{n}) \\ \end{align}$

Seiring dengan n mendekati tak terhingga dan norma partisi $\lVert P \rVert$ mendekati 0, maka didapatkan:

$\int_0^b f(x)\, dx = A = \frac {b^2}{2}$

Misal f fungsi yang didefinisikan pada [a,b], f dikatakan terintegralkan pada [a,b] jika

ada, selanjutnya

disebut Integral Tentu (Integral Riemann) f dari a ke b, dan didefinisikan

= .

menyatakan luas daerah yang tercakup diantara kurva y = f(x) dan sumbu x dalam selang [a,b], jika

bertanda negatif maka menyatakan luas daerah yang berada dibawah sumbu x.

Definisi :

= 0

= -

, a > b

2.2.2 Berikut sifat-sifat integral tertentu :

f (x) dx = 0

f (x) dx = -

f (x) dx

k dx = k (b - a)

k f(x) dx = k

f (x) dx

[f (x) ± g (x)] dx =

f (x) dx ±

g (x) dx

f (x) dx =

f (x) dx +

f (x) dx; a<b<c

f (x) dx

g (x) dx; jika f (x) dx ≥ g (x) dx

f (x) dx ≥ 0, jika f (x) ≥ 0

2.2.3 PENGGUNAAN INTEGRAL TERTENTU

Luas Daerah Bidang Rata

a. Daerah Antara Kurva dan Sumbu Koordinat.

Perhatikan gambar daerah rata dibawah ini

Daerah R dibatasi oleh grafik-grafik y = f(x), x = a, x = b dan y = 0, luasnya A(R) ditentukan oleh :

A(R) =

Jika gambar terletak dibawah sumbu X maka integral diatas bernilai negatif,

karena luas daerah tidak mungkin bilangan negatif maka nilai integral tersebut dimutlakkan.

Perhatikan pula gambar daerah rata berikut ini :

Daerah R dibatasi oleh grafik-grafik x = f(y), y = c, y = d dan x = 0, luasnya A(R) ditentukan oleh : A(R) =

Jika gambar terletak disebelah kiri sumbu Y maka integral diatas bernilai negatif, karena luas daerah tidak mungkin bilangan negatif maka nilai integral tersebut dimutlakkan.

Contoh :

Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh fungsi :

Untuk menghitung luas daerah rata ikuti pola berfikir sebagai berikut :

Gambar daerah yang bersangkutan
Potong daerah menjadi jalur-jalur dan beri nomor pada satu jalur tertentu
Hampiri luas jalur tertentu tersebut dengan luas persegi panjang
Jumlahkan luas jalur-jalur pada daerah tersebut
Ambil limit dari jumlah diatas dengan lebar jalur menuju 0, maka diperoleh integral tertentu.

b. Daerah antara 2 Kurva

Perhatikan kurva-kurva y = f(x) dan y = g(x) dengan g(x) £ f(x) pada selang [a,b], sebagai gambar berikut :

A =

Kita gunakan cara : potong, aproksimasikan, dan integralkan.

2.2.4 Teorema Dasar Kalkulus

Teorema Dasar Kalkulus memberikan kemudahan untuk menghitung Integral Tentu, berikut teorema tersebut :

Misal f kontinu pada [a,b] dan F sebarang anti turunan f, maka

= F(b) – F(a)

Selanjutnya ditulis F(b) – F(a) =

Contoh :

1. Perlihatkan bahwa jika r Î Q dan r ¹ -1, maka

Jawab :

Karena F(x) =

suatu anti turunan dari f(x) = x^r, maka menurut TDK,

Integral tentu sebagai operator linear, yaitu bersifat :

Misal f dan g terintegralkan pada [a,b] dan k suatu konstanta, maka kf dan

f + g terintegralkan, dengan

Contoh :

Hitung

Jawab :

= 4

= - 12

2.2.5 Cara Menghitung Integral

1) Cara Subtitusi

ʃ f(x)ⁿ d[f(x)] = ʃ uⁿ du =

u^n-1+ c, dengann ≠ 1

Cara subtitusi pada integral dilakukan apabila satu bentuk integral tidak dapat langsung diselesaikan dengan menggunakan rumus-rumus dasar integral. Integral bentuk ini terlebih dahulu diubah menjadi bentuk integral yang dapat diselesaikan dengan rumus integral, yaitu dengan cara mensubtitusikan variabel baru, yaitu dengan mensubtitusikan u = f (x).

Contoh :

Tentukan integral dari ʃ 6x² (2x³ - 4)² dx

Misal u = 2x³ – 4 → du = 6x²dx

dx =

Sehingga, ʃ 6x² (2x³ - 4)² dx = 6x²u⁴

= u² du =

u⁵ =

(2x³ - 4)⁵ + c

2) Cara Parsial

Cara parsial digunakan apabila bentuk suatu integral tidak dapat diselesaikan dengan menggunakan rumus-rumus dasar integral dan dengan cara subtitusi. Menghitung integral parsial didefinisikan sebagai berikut.

ʃ u dv = uv - ʃ v du

Contoh :

Tentukanlah ʃ x

Misal u = x → du = dx

dv =

→ v = ʃ

= ʃ (2 + x)^1/2 d(2 + x)

(2 + x)^3/2 + c

Sehingga, ʃ x

= x •

(2 + x)^3/2- ʃ

(2 + x)^3/2 dx

x (2 + x) - ʃ

(2 + x) d(2 + x)

x (2 + x) -

•

(2 + x)^5/2 + c

x (2 + x)^3/2 -

(2 + x)^5/2 +

BAB III

APLIKASI

3.1 Aplikasi Integral dalam Kehidupan

1. EKONOMI

Operasi hitung integral dapat diterapkan dalam persoalan ekonomi, misalnya dalam integral tak tentu digunakan menghitung fungsi total, dan dalam integral tertentu digunakan untuk menghitung surplus konsumen dan surplus produsen.

Jika diketahui fungsi demand dan supply suatu barang, operasi hitung integral dapat dipakai untuk menghitung surplus konsumen dan surplus produsen pada saat market equilibriumatau pada tingkat harga tertentu.

a) Surplus Konsumen

Konsumen yang mampu atau bersedia membeli barang lebih tinggi (mahal) dari harga equilibrium P0 akan memperoleh kelebihan (surplus) untuk tiap unit barang yang dibeli dengan harga P0. Pada saat equilibrium, jumlah total pengeluaran (total expenditure) konsumen = P0.X0 yang dalam gambar ini adalah luas empat persegi panjang 0ABC, sedangkan konsumen yang tadinya bersedia membeli barang ini lebih tinggi dari harga P0 akan menyediakan uang yang banyaknya = luas daerah yang dibatasi kurva demand yang sumbu tegak P, sumbu mendatar X, dan garis ordinat x = x0 (yakni = luas daerah 0ABF).

SK = Luas 0ABF – Luas 0ABC = Luas daerah CBF =oʃxof(x).dx – P0.X0

Karena itu, besarnya surplus konsumen yakni selisih antara jumlah uang yang disediakan dikurangi dengan jumlah pengeluaran nyata konsumen sehingga surplus konsumen dapat dinyatakan sebagai berikut:

Jika dari fungsi demand p = f(x) maka hasil dari 0ʃaf(x).dx adalah jumlah uang yang disediakan.

b) Surplus Produsen

Surplus produsen adalah selisih antara hasil penjualan barang dengan jumlah penerimaan yang direncanakan produsen dalam penjualan sejumlah barang. Pada saat harga terjadi price equilibrium P0 maka penjual barang yang bersedia menjual barang ini dibawah harga po akan memperoleh kelebihan harga jual untuk tiap unit barang yang terjual yakni selisih antara po dengan harga kurang dari po.

SP = Luas 0ABC – Luas daerah 0ABE = P0.X0 -oʃxcg(x).dx

Sedangkan, pada saat equilibrium, penjual barang ini akan menerima hasil penjualan barang sejumlah P0 . X0 yang dalam gambar adalah luas empat persegi panjang 0ABC, sedangkan sebenarnya penjual barang ini bersedia menerima sejumlah uang yang banyaknya = luas daerah yang dibatasi kurva supply dengan sumbu P, sumbu X dan garis ordinat x = xo (yakni luas daerah 0ABE), maka penjual barang ini akan memperoleh surplus produsen (penjual) sebanyak berikut ini:

2. TEKNOLOGI

- Penggunaan laju tetesan minyak dari tangki untuk menentukan jumlah kebocoran selama selang waktu tertentu.

- Penggunaan kecepatan pesawat ulang alik Endeavour untuk menentukan ketinggian maksimum yang dicapai pada waktu tertentu.

- Memecahkan persoaalan yang berkaitan dengan volume, paanjang kurva, perkiraan populasi, keluaran kardiak, gaya pada bendungan, usaha, surplus konsumen.

BAB IV

PENUTUP

A. Kesimpulan

Dari makalah diatas dapat kita ambil kesimpulan bahwa kalkulus tersebut mempunyai cabang utama yaitu kalkulus differensial, dan kalkulus integral. Sedangkan kalkulus integral terbagi atas dua macam lagi yaitu integral tertentu dan integral tak tentu. Dan cabang-cabang dari kalkulus ini mempunyai banyak aplikasi baik dalam kehidupan sehari, dalam dunia pendidikan ataupun kesehatan.

Seperti yang dibahas dalam makalah ini ternyata integral memiliki aplikasi dalam dunia pendidikan sains yaitu dalam bidang fisika arus dan daya listrik pada permukaan tertutup dan dalam ruang.

B. Saran

Semoga penulis dan pembaca dapat mengetahui dan memahami aplikasi integral dalam bidang fisika yait dalam arus dan daya listrik pada permukaan tertutup dan dalam ruang. Jika ada kesalahan dalam penulisan makalah ini penulis mengharapkan kritikan atau saran dari pembaca.

DAFTAR PUSTAKA

1) http://id.wikipedia.org/wiki/Daya_listrik

2) http://henryranu.files.wordpress.com/2007/12/arus-dan-tegangan.pdf

3) http://darmawaninnodderz.blogspot.com/2012/09/manfaat-dan-fungsi-integral-dalam-ekonomi-teknik.html.

4) Shepley L. Ross “ Differential Equations” second edition, John Wiley & Sons.

5) Frank Ayres “Differential Equations”, MacGrawhill.

6) H.K.Hwan, Ir “Kumpulan Soal-Soal Hitung Differensial Integral.

7) Paul Online Notes , http://tutorial.math.lamar. edu/ Classes/DE

blog fahmi syafa @L_khaisa

Saturday, 9 November 2013

Defrensial kalkulus

BAB I

a. Daerah Antara Kurva dan Sumbu Koordinat.

Perhatikan gambar daerah rata dibawah ini

A(R) =

Jika gambar terletak dibawah sumbu X maka integral diatas bernilai negatif,

karena luas daerah tidak mungkin bilangan negatif maka nilai integral tersebut dimutlakkan.

Perhatikan pula gambar daerah rata berikut ini :

3) http://darmawaninnodderz.blogspot.com/2012/09/manfaat-dan-fungsi-integral-dalam-ekonomi-teknik.html.

7) Paul Online Notes , http://tutorial.math.lamar. edu/ Classes/DE

No comments:

Post a Comment